Электрост. т-ма Гаусса и бесконечный равномерный заряд

Автор
Сообщение
sinmegane
#1350 2010-03-05 21:06 GMT

Возник у меня вопрос, связанный с одним из уравнений Максвелла (известном также как теорема Гаусса), гласящем, что поток вектора электрической напряжённости через всякую замкнутую поверхность пропорционален суммарному заряду, заключённому в эту поверхность.

С помощью этой теоремы чудесным образом решаются задачи о полях бесконечных равномерно заряженных нити и плоскости, о чём пишут в учебниках общей физики.

Если же представить бесконечный равномерно заряженный объём... не, представить трудно... предположить таковой, то вроде бы что в силу симметрии поле в любой точке должно отсутствовать, однако всякая замкнутая поверхность в этом случае будет заключать конечный заряд, и по теореме Гаусса поток должен быть ненулевым. Что я делаю не так?

iskander
#1351 2010-03-05 22:19 GMT

Рассмотрите пример равномерно заряженного шара при радиусе стремящемся к бесконечности. Потом, если вы возьмете произвольный конечный объем и будете рассматривать заряды внутри него, то все в порядке, ведь вы выделили объем и рассматриваете конкретно именно этот объем и неважно, что вокруг него.

sinmegane
#1353 2010-03-05 23:05 GMT

iskander, благодарю за ответ.

Но я не понял. В традиционно рассмтриваемом равномерно заряженном шаре есть центр симметрии, и поле линейно возрастает с радиусом, а направлено всюду от центра. Как можно говорить о центре бесконечного объёма?..

iskander
#1358 2010-03-06 14:29 GMT

Если область бесконечно большая - любая её точка может быть принята за центр. Когда мы имеем дело с бесконечно большим вся арифметика меняется, это совершенно другая ситуация.

Возьмем для простоты бесконечную числовую прямую. Уже со школы мы знаем, что любую ее точку можно принять за нулевую и в обе стороны от этой произвольной нулевой точки прямая простирается бесконечно далеко, вот вам и симметрия.

sinmegane
#1359 2010-03-06 15:45 GMT

Но свойства поля-то не должны зависеть от выбора центра. А то получается, что я могу ткнуть в любую точку, и если сказать, что это центр, то поле там нулевое, а если не центр, то ненулевое. Да ещё и направление от выбора центра зависит...

iskander
#1360 2010-03-06 18:41 GMT

А пока вы не выбрали точку отсчета, вы ничего о поле в данном случае и сказать не можете. Все точки бесконечно большой области равноправны.

К примеру, движение в разных системах отсчета разное, ведь вас это не пугает. В бесконечно большой области направление от выбора центра не зависит.

Вообще ваш вопрос больше философский.

sinmegane
#1361 2010-03-06 19:06 GMT

"Все точки бесконечно большой области равноправны" - ага, и я о том же.

"А пока вы не выбрали точку отсчета, вы ничего о поле в данном случае и сказать не можете" - Вы говорите о поле, как о какой-то условности (вроде начала отсчёта, единиц измерения и т.д.), но ведь это не так. Вектор электрической напряжённости в некоторой точке определяет величину и направление силы, действующей на помещённый в эту точку заряд. И не должен он зависеть от выбора СК. Можно сформулировать вопрос так: если поместить некий заряд в какую-то точку нашего бесконечного объёма, куда он будет двигаться? (т.е. понятно, что никуда не должен, но поток-то нужен ненулевой!)

Вопрос не то, чтобы философский, но какой-то факультативный, да =) С конечными объёмами вроде всё понятно, а о бесконечном вроде и смысла рассуждать нет в силу его "нефизичности", но я пытаюсь понять, почему с бесконечными нитью и плоскостью эта математика хорошо работает, а с объёмом чего-то не складывается...

iskander
#1362 2010-03-06 19:25 GMT

Да все складывается. Какую бы точку вы не взяли, напряженность в ней нулевая в силу ее центральности. Точно так же на бесконечной прямой и на бесконечной плоскости. Если в произвольную точку поместить пробный заряд - он будет покоиться. Поток мы имеем через поверхность, а у бесконечного объёма её нет - нет и потока. Вот если мы мысленно выделим некий конечный объем - другое дело, через него будет поток пропорциональный числу зарядов попавших в наш выделенный объем.

sinmegane
#1363 2010-03-06 20:42 GMT

"Вот если мы мысленно выделим некий конечный объем - другое дело, через него будет поток пропорциональный числу зарядов попавших в наш выделенный объем" - вот об этом я и спрашиваю. Вы хотите сказать, что нет противоречия между наличием этого потока (равного, по определению, поверхностному интегралу от нормальной составляющей напряжённости) и нулевой напряжённостью в каждой точке (поверхности этого выделенного объёма в частности)???

iskander
#1364 2010-03-06 23:44 GMT

Конечно нет. Как только вы выделили объем, т.е. задали, например, шар конечного размера то внутренние точки шара по отношению к шару уже не те точки, что в бесконечно большом объеме. Это уже обычная задача о равномерно заряженном шаре. А противоречия нет потому, что нельзя одновременно совместить два понятия: конечное и бесконечное, это две принципиально разные ситуации.